Question

9．在光滑水平面上，有一静止的小车质量为M，如图所示，一质量为m的小球，以某一水平速度射向小车上光滑的半径为R的四分之一圆弧的底部如图所示．问：
（1）小球初速度v₀为多大时，小球恰好能上升到四分之一圆弧顶端；
（2）若以一问中所求的初速度的两倍再在同位置射向静止的小车，则小球增加的重力势能的最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）小球在圆弧轨道上上滑时系统在水平方向动量守恒，当小球恰好能上升到四分之一圆弧顶端时小球与小车的速度相同，由动量守恒定律求出共同速度，再结合系统的机械能守恒列式，联立求解．
（2）由水平方向动量守恒求水平方向共同速度，由能量守恒定律求小球增加的重力势能的最大值．

解答 解：（1）取向右为正方向，对m、M组成的系统，由水平方向动量守恒得：
  mv₀=（m+M）v       
由系统的机械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$mv₀²=mgR+$\frac{1}{2}$（m+M）v² 
解以上两式得：v₀=$\sqrt{\frac{2（M+m）gR}{M}}$
（2）对m、M，由水平方向动量守恒得：
  2mv₀=（M+m）v_共 
由能量守恒得：
  $\frac{1}{2}$m（2v₀）²=△E_P+$\frac{1}{2}$（m+M）v_共²
解以上两式并代v₀得：△E_P=4mgR 
答：
（1）小球初速度v₀为$\sqrt{\frac{2（M+m）gR}{M}}$时，小球恰好能上升到四分之一圆弧顶端．
（2）小球增加的重力势能的最大值为4mgR．

点评 本题是系统的动量守恒和机械能守恒问题，对于两个物体，往往首先考虑守恒定律能不能用，本题要注意系统总动量不守恒．