Question

20．在宽度为L的条形区域内有匀强电场，电场的方向平行于区域边界．有一个带电粒子（不计重力）从左侧边界上的A点，以初速度v₀沿垂直于电场的方向射入电场，粒子从右侧边界射出时的速度大小为$\frac{\sqrt{17}}{4}$v₀．
（1）求粒子从右侧边界射出时，沿电场方向位移的大小；
（2）若带电粒子的入射速度改为$\frac{1}{4}$v₀，求粒子从右侧边界射出时速度的大小；
（3）若带电粒子的入射速度大小可以为任意值（远小于光速），求带电粒子从右侧边界射出速度的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，将运动沿水平方向与竖直方向分解即可求出；
（2）将粒子的运动分解，求出末速度的表达式，然后依据二项式定理即可求出；
（3）根据运动的合成与分解，结合运动学公式，及矢量的合成法则，即可求解．

解答 解：（1）射出电场的速度分解为水平方向和竖直方向，则有：
$\frac{\sqrt{17}}{4}$v₀=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y1}^{2}}$
解得：v_y1=$\frac{1}{4}$v₀；
设经过时间t₁粒子射出电场，沿电场方向位移y，由类平抛运动知：
L=v₀t₁，
v_y1=at₁；
得：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4L}$
由y=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$解得：y=$\frac{L}{8}$
（2）粒子在水平方向做匀速运动，设经过时间t₂；
粒子射出电场：L=$\frac{{v}_{0}{t}_{2}}{4}$
设粒子沿场强方向加速度为a，沿场强方向匀加速直线运动：v_y2=at₂；
粒子射出电场速度v₀
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y2}^{2}}$
联立上式，解得：v=$\frac{\sqrt{17}}{4}$v₀；
（3）设粒子以v_x射入电场，沿电场方向速度为v_y
粒子射出电场的速度为v′，
则有：v′=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+（a\frac{L}{{v}_{x}}）^{2}}$
当${v}_{x}^{2}$=$（a\frac{L}{{v}_{x}}）^{2}$时，v′取最小值，即v_x=$\frac{{v}_{0}}{2}$
那么带电粒子从右侧边界射出速度的最小值v′=$\frac{\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$
答：（1）粒子从右侧边界射出时，沿电场方向位移的大小$\frac{L}{8}$；
（2）若带电粒子的入射速度改为$\frac{1}{4}$v₀，粒子从右侧边界射出时速度的大小$\frac{\sqrt{17}}{4}$v₀；
（3）若带电粒子的入射速度大小可以为任意值（远小于光速），带电粒子从右侧边界射出速度的最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$．

点评 该题考查带电粒子在电场中的偏转，解答的难点是第二位，要正确写出粒子的末速度的表达式，才能正确得出结论．