Question

5．如图所示，一长L=2m、质量M=4kg的薄木板（厚度不计）静止在粗糙的水平台面上，其右端距平台边缘l=5m，木板的正中央放有一质量为m=1kg的小物块（可视为质点）．已知木板与地面、物块与木板间动摩擦因数均为μ₁=0.4，．现对木板施加一水平向右的恒力F，其大小为48N，g取10m/s²，试求：
（1）F作用了1.2s时，木板的右端离平台边缘的距离；
（2）要使小物块最终不能从平台上滑出去，则物块与平台间的动摩擦因数μ₂应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）假设开始时物块与木板会相对滑动，由牛顿第二定律求出两者的加速度，从而判断出物块与木板会相对滑动．根据小物块恰好从木板左端滑离时位移之差等于$\frac{L}{2}$，由位移公式求得时间，并求出此时两者的速度．在小物块从木板上滑落后，由牛顿第二定律和位移公式求出木板发生的位移，即可求得木板的右端离平台边缘的距离；
（2）小物块滑至平台后，做匀减速直线运动，由牛顿第二定律求得物块的加速度．若小物块在平台上速度减为0，求得其位移，由几何关系分析μ₂应满足的条件．

解答 解：（1）假设开始时物块与木板会相对滑动，由牛顿第二定律，
对木板有：F-μ₁（M+m）g-μ₁mg=Ma₁；
解得：a₁=6m/s²．
对物块有：μ₁mg=ma₂；
解得：a₂=4m/s²．
因为a₂＜a₁，故假设成立．
设F作用t秒后，小物块恰好从木板左端滑离，则有：
$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
代入数据解得：t=1s
在此过程中，木板的位移为：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×6×{1}^{2}$m=3m，
末速度为：v₁=a₁t=6×1=6m/s．
物块的位移为：x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×4×{1}^{2}$m=2m，
末速度为：v₂=a₂t=4×1=4m/s．
在小物块从木板上滑落后的0.2s内，由牛顿第二定律，
对木板有：F-μ₁Mg=Ma₁′
解得：a₁′=8m/s²．
木板发生的位移为：x₁′=v₁t₀+$\frac{1}{2}{a}_{1}′{t}_{0}^{2}$
解得：x₁′=1.36m
此时木板距平台边缘的距离为：△x=l-x₁-x₁′=5-3-1.36=0.64m
（2）小物块滑至平台后，做匀减速直线运动，由牛顿第二定律，
对物块有：μ₂mg=ma₂′
解得：a₂′=μ₂g．
若小物块在平台上速度减为0，则通过的位移为：x₂′=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}′}$
要使从木板最终不会从平台上掉下去需满足：l+$\frac{L}{2}$≥x₂+x₂′
联立解得：μ₂≥0.2
答：（1）F作用了1.2s时，木板的右端离平台边缘的距离是0.64m；
（2）要使小物块最终不能从平台上滑出去，则物块与平台间的动摩擦因数μ₂应满足的条件是μ₂≥0.2．

点评 解决本题的关键理清物块和木板的运动情况，运用假设法判断它们的状态，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．