（本小题满分13分）

设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.

（I）求曲线C的方程；

（II）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时， 是否为定值？为什么？

（本小题满分13分）

        已知椭圆C的中心在的点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为4，的周长为

   （I）求椭圆C的方程；

   （II）设点Q的从标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直

线PF₁，PF₂都相切，若存在，求出P点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由。

 【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

过抛物线y²=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ₁；点F在线段BC上，满足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．

(1)设，求；

(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

（本小题满分14分）

已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.

求动点 M 的轨迹 C 的方程；

（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）已知直线：与轴相交于点，是平面上的动点，满足（是坐标原点）．

⑴求动点的轨迹的方程；

⑵过直线上一点作曲线的切线，切点为，与轴相交点为，

若，求切线的方程.

（本题满分13分）

已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．

（Ⅰ）求动点所在的曲线方程；

（Ⅱ）若存在点，使，试求的取值范围；

（Ⅲ）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．

（本小题满分12分）

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

(Ⅰ)求点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

（本小题满分12分）

已知半椭圆和半圆

组成曲线，其中；如图，半椭圆

内切于矩形，

且交轴于点，点是半圆上

异于的任意一点，当点位于点时，

的面积最大．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）连、交分别于点，求证：为定值．

（ 本题满分12分 ）

已知点，动点、分别在、轴上运动，满足，为动点，并且满足．

   （1）求点的轨迹的方程；

   （2）过点的直线（不与轴垂直）与曲线交于两点，设点，与的夹角为，求证：．