Question

（本题满分13分）

已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．

（Ⅰ）求动点所在的曲线方程；

（Ⅱ）若存在点，使，试求的取值范围；

（Ⅲ）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系

若，即，动点所在的曲线不存在；

若，即，动点所在的曲线方程为；

若，即，动点所在的曲线方程为.

………… 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要存在点，使，  则以为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点。故，所以

所以的取值范围是.                             …………8分

（Ⅲ）当时，其曲线方程为椭圆

由条件知两点均在椭圆上，且

设，，的斜率为，则的方程为，

的方程为

解方程组得，

同理可求得，                            …………10分

面积=        …………11分

令则

令

所以，即                                 …………13分