Question

（本小题满分12分）

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

(Ⅰ)求点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ) 椭圆右焦点的坐标为，   ………(1分)

．，

由，得．                          ………… (2分)

设点的坐标为，由，有，

代入，得．                      ……… (4分)

（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、，

则，．                             ………… (5分)

由，得， 同理得．       ………… (7分)

，，则．  ……(8分)

由，得，．           ……… (9分)

则．                   …………… (11分)

因此，的值是定值，且定值为．                         ……… (12分)

 解法二：①当时， 、，则，   ．

由 得点的坐标为，则．

由 得点的坐标为，则．

．                    …………… (6分)

②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得．                           … (8分)

由，得，．       …………(9分)

则．                    ………… (11分)

因此，的值是定值，且定值为．                         ………… (12分)