Question

 【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

过抛物线y²=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ₁；点F在线段BC上，满足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．

(1)设，求；

(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

Answer 1

解：(1)过点A的切线方程为y=x+1． …………………………………………………1分

切线交x轴于点B(-1，0)，交y轴交于点D(0，1)，则D是AB的中点．   

所以．                            (1) ………………………3分

由Þ=(1+λ) Þ． (2)

同理由 =λ₁， 得=(1+λ₁)，              (3)

=λ₂， 得=(1+λ₂)．              (4)

将(2)、(3)、(4)式代入(1)得

．

因为E、P、F三点共线，所以 + =1，

再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=．……………………………………………………………6分

(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．

所以，x=，y=．

解得x₀=3x，y₀=3y-2，代入y₀²=4x₀得，(3y-2)²=12x．

由于x₀≠1，故x≠3．

所求轨迹方程为(3y-2)²=12x (x≠3)． ………………………………………………10分