已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（-2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（　　）

定义：若

h(x)

xk

在[k，+∞]上为增函数，则称h（x）为“k次比增函数”，其中k∈N^*，已知f（x）=e^ax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=

1

2

时，求函数g（x）=

f(x)

x

在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求证：

n

i=1

1

i•( e )i

＜

7

2e

．

对于函数y=f（x），若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x＜t时，函数f（x）单调递减，当x＞t时，函数f（x）单调递增；②对任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），则称y=f（x）为D内的“勾函数”．
（1）证明：函数y=|log_ax|（a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
（2）若D内的“勾函数”y=g（x）的导函数为y=g′（x），y=g（x）在D内有两个零点x₁，x₂，求证：g′(

x1+x2

2

)＞0；
（3）对于给定常数λ，是否存在m，使函数h（x）=

1

3

λx³-

1

2

λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）内为“勾函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

已知函数f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx．
（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点的横坐标为x₀，有f′(x0)=

y1-y2

x1-x2

成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x，其中a≥0．
（Ⅰ）若f′（0）=-4，求a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

已知函数f（x）=（x+a）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）=f（x-a）-x²的零点个数，并说明理由．

已知函数f（x）=x³+ax²-bx在x=±1处取得极值．则ab的值是．

若f（x）=ax³+x在区间[-1，1]上是单调递增的，则a的取值范围为（　　）

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-2ax+3有极值，则实数a的取值范围为．

∫

2 0

（x³+1）dx的值为．