Question

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x，其中a≥0．
（Ⅰ）若f′（0）=-4，求a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（0）=-4列式求出a的值，进一步求出f（1）和f′（1），由直线方程的点斜式得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）由导数求出函数在区间（0，2）上的极值，和端点值比较后得函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-ax²-a²x，
∴f'（x）=3x²-2ax-a²，f'（0）=-a²=-4，
又a≥0，∴a=2．
又f'（1）=-5，f（1）=-5，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y=0；
（Ⅱ）x∈[0，2]，f'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a）
令f'（x）=0，则x1=-

a

3

，x2=a．
（1）当a=0时，f'（x）=3x²≥0在[0，2]上恒成立，
∴函数f（x）在区间[0，2]上单调递增，∴f（x）_min=f（0）=0；
（2）当0＜a＜2时，在区间[0，a）上，f'（x）＜0，在区间（a，2]上，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在区间[0，a）上单调递减，在区间（a，2]上单调递增，且x=a是[0，2]上唯一极值点，∴∴
∴f(x)min=f(a)=-a3；
（3）当a≥2时，在区间[0，2]上，f'（x）≤0（仅有当a=2时f'（2）=0），
∴f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴函数f(x)min=f(2)=8-4a-2a2．
综上所述，当0≤a＜2时，函数f（x）的最小值为-a³，a≥2时，函数f（x）的最小值为8-4a-2a²．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．是有一定难度题目．