Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx．
（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点的横坐标为x₀，有f′(x0)=

y1-y2

x1-x2

成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，令导函数大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出a的范围，从而求出a的最小值；
（2）利用两点的斜率公式求出k，求出f′（x₀）列出方程，通过换元构造新函数，用导数判断函数的单调性，求出最值，得到矛盾．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx（x＞0），
∴f′（x）=x+（a-3）+

1

x

；
若f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即a≥-（x+

1

x

）对x＞0恒成立，
当x＞0时，-（x+

1

x

）+3≤-2+3=1；
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即a≤-（x+

1

x

）+3对x＞0恒成立，
这是不可能的．
综上，a≥1．
∴a的最小值为1．
（2）假设存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设0＜x₁＜x₂，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

( 1 2 x12+(a-3)x1+lnx1)-( 1 2 x22+(a-3)x2+lnx2)

x1-x2

=

1

2

（x₁+x₂）+（a-3）+

ln x1 x2

x1-x2

；
∵f′（x₀）=x₀+（a-3）+

1

x0

，x₀=

1

2

（x₁+x₂），
若k=f′（x₀），则

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，即ln

x1

x2

=

2(x1-x2)

x1+x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

（*）；
令t=

x1

x2

，则函数u（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（0＜t＜1），
则u′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x₀）．
因此，满足条件的x₀不存在．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求闭区间上函数的最值等基础知识，也考查了运算能力与化归、转化思想等知识，是难题．