Question

已知函数f（x）=（x+a）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）=f（x-a）-x²的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数f′（x），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出不等式，即可得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由g（x）=f（x-a）-x²，得方程xe^x-a=x²，显然x=0为此方程的一个实数解．当x≠0时，方程可化简为e^x-a=x．设函数F（x）=e^x-a-x，利用导数得到F（x）的最小值，由于F（x）_min=F（a）=1-a＞0，则当x≠0时，函数g（x）不存在零点，故可得到函数g（x）的零点个数．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e^x，x∈R，
所以f′（x）=（x+a+1）e^x．                              
令f′（x）=0，得x=-a-1．                            
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

故f（x）的单调减区间为（-∞，-a-1）；单调增区间为（-a-1，+∞）．
（Ⅱ）结论：函数g（x）有且仅有一个零点．
理由如下：
由g（x）=f（x-a）-x²，得方程xe^x-a=x²，
显然x=0为此方程的一个实数解．
所以x=0是函数g（x）的一个零点．
当x≠0时，方程可化简为e^x-a=x．
设函数F（x）=e^x-a-x，则F′（x）=e^x-a-1，
令F′（x）=0，得x=a．
当x变化时，F（x）和F′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	↘	极小值	↗

即F（x）的单调增区间为（a，+∞）；单调减区间为（-∞，a）．
所以F（x）的最小值F（x）_min=F（a）=1-a．
因为 a＜1，
所以F（x）_min=F（a）=1-a＞0，
所以对于任意x∈R，F（x）＞0，
因此方程e^x-a=x无实数解．
所以当x≠0时，函数g（x）不存在零点．
综上，函数g（x）有且仅有一个零点．

点评：本题考查的知识点是用导数研究函数的单调性，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，并分析出函数的单调性及极值点等信息，是解答本题的关键．