一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为．

一个长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为1、1、2，则该长方体外接球表面积为．

如图，在三棱锥D-ABC中，已知BC丄AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D一ABC的体积的最大值是．

一个盛满水的无盖三棱锥容器S-ABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的倍．

已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为

3

的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则正三棱锥P-ABC的高为．

水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中装有

1

2

V的水，给出下列操作与结论：
①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的状始终是柱体；
②在①中的运动过程中，水面面积始终不变；
③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；
④在③中水与容器的接触面积始终不变．
以上说法正确的是．（把所有正确命题的序号都填上）

关于图中的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下列说法正确的有：．
①P点在线段BD上运动，棱锥P-AB₁D₁体积不变；
②P点在线段BD上运动，直线AP与平面AB₁D₁所成角不变；
③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；
④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；
⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB₁D₁与平面BDC₁间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，E，F分别是棱CD、C₁D₁的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A₁B₁C₁D₁上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角D-C₁D₁-B₁所围成的几何体的体积为．