Question

已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为

3

的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则正三棱锥P-ABC的高为

 

．

Answer 1

分析：由正三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为

3

的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长与底面三角形的边长，过P作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，求出OA，利用勾股定理求出三棱锥P-ABC的高H．

解答：解：∵PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为

3

的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．
∴(2

3

)2=PA²+PB²+PC²=3PA²⇒PA=PB=PC=2，
底面正△ABC的边长为

22+22

=2

2

，
过P作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，OA=

2

3

×

3

2

×2

2

=

2 6

3

，
三棱锥P-ABC的高H=

22-( 2 6 3 )2

=

2 3

3

．
故答案是

2 3

3

．

点评：题考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键．