（2013•江苏一模）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l的参数方程

x=2-t y=1+ 3 t

（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．

（2013•江苏一模）（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=

1 a c 0

的一个特征值为λ₁=-1，其对应的一个特征向量为α1=

-1 1

，已知β=

8 1

，求A⁵β．

（2013•江苏一模）（选修4-1　几何证明选讲）
如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O上一点，且∠ABD=∠ABP．
求证：AB²=BP•BD．

（2013•江苏一模）设数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，对于任意正整数m，n，Sm+n=

2a2m(1+S2n)

-1恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求证：数列{a_n}成等比数列．

（2013•江苏一模）已知椭圆E：

x2

4

+y2=1的左、右顶点分别为A，B，圆x²+y²=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；
（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范围．

（2013•江苏一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托

EA

，

EB

，

EC

，

ED

所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA₁，FB₁，FC₁，FD₁是正四棱锥F-A₁B₁C₁D₁的四条侧棱，正方形A₁B₁C₁D₁的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米

a

3

（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．
（1）求y关于θ的函数关系式；
（2）当θ取何值时，y取得最小值？

（2013•江苏一模）已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求

c

a

的取值范围；
（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求证：直线AB的斜率k∈(-

2a

9

，-

a

6

]．

（2013•江苏一模）如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A₁C₁的中点，∠ACB=90°，A₁F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：
（1）A₁E∥平面GBC；
（2）BG⊥平面ACH．

（2013•江苏一模）设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．