Question

（2013•江苏一模）设数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，对于任意正整数m，n，Sm+n=

2a2m(1+S2n)

-1恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求证：数列{a_n}成等比数列．

Answer 1

分析：（1）由给出的递推式分别取m=1，m=2得到两个关系式，两式作比后可以证明数列{1+S_n}是一个等比数列，由等比数列的通项公式得到S_n的表达式，模仿该式再写一个关系式，两式作差后进一步得到一个关于a₂和S₂的关系式，然后把a₁代入即可求得a₂的值，在分别取m=1，n=2；m=2，n=1代入原递推式，得到关于a₃，a₄的方程后可求解a₃，a₄则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）在（1）的基础上，取m=n=2得关系式，结合m=1，n=2得到的关系式可求出q=

a4 a2

=2．最后结合题目给出的条件，a₄=a₂（a₁+a₂+1）证出数列{a_n}成等比数列．

解答：解（1）由Sm+n=

2a2m(1+S2n)

-1得1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

．
令m=1，得1+Sn+1=

2a2(1+S2n)

①
令m=2，得1+Sn+2=

2a4(1+S2n)

②
②÷①得：

1+Sn+2

1+Sn+1

=

a4 a2

 （n∈N^*）．记

a4 a2

=q，
则数列{1+S_n} （n≥2，n∈N^*）是公比为q的等比数列．
∴1+Sn=(1+S2)qn-2 （n≥2，n∈N^*）③．
n≥3时，1+Sn-1=(1+S2)qn-3④．
③-④得，an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*）．
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=n=1，得1+S2=

2a2(1+S2)

．
∴(1+S2)2=2a2(1+S2)．
则1+S₂=2a₂，∴a₂=1+a₁．
∵a₁=1，∴a₂=2．
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=1，n=2，得1+S3=

2a2(1+S4)

．
则(4+a3)2=4(4+a3+a4)⑤
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=2，n=1，得1+S3=

2a4(1+S2)

则(4+a3)2=8a4⑥．
由⑤，⑥，解得a₃=4，a₄=8．
则q=2，由an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*），
得：an=4×2n-3(2-1)=2n-1
∵a₁=1，a₂=2也适合上式，∴an=2n-1．
（2）在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=2，n=2，得1+S4=

2a4(1+S4)

则1+S₄=2a₄，∴1+S₃=a₄．
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=1，n=2，得1+S3=

2a2(1+S4)

．
则1+S3=

2a2(1+S3+a4)

，∴a4=

2a2×2a4

．
则a₄=4a₂，∴q=

a4 a2

=2．
代入an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*），
得an=(1+S2)2n-3 （n≥3，n∈N^*）．
由条件a₄=a₂（a₁+a₂+1），得a₁+a₂+1=4．
∵a₂=a₁+1，a₁=1，∴a₂=2．
则an=4×2n-3=2n-1
∵a₁=1，a₂=2上式也成立，
∴an=2n-1 （n∈N*）．
故数列{a_n}成等比数列．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的综合，训练了学生的灵活变形能力和对繁杂问题的计算能力，属中高档题．