Question

（2013•江苏一模）（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=

1 a c 0

的一个特征值为λ₁=-1，其对应的一个特征向量为α1=

-1 1

，已知β=

8 1

，求A⁵β．

Answer 1

分析：利用特征值、特征向量的定义，构建方程组，由此可求矩阵A．再求矩阵A的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，利用矩阵A的特征值与特征向量，进而可求A⁵β．

解答：解：依题意：Aα₁=-α₁，…（4分）
即

1 a c 0

-1′ 1′

=-

-1 1

，
∴

-1+a=1 -c=-1

，∴

a=2 c=1

…（8分）
A的特征多项式为f（λ）=（λ-1）λ-2=λ²-λ-2=0，
则λ=-1或λ=2．
λ=2时，特征方程

x-2y=0 -x+2y=0

，属于特征值λ=2的一个特征向量为

2′ 1′

，
∵β=

8 1

=-2

-1′ 1′

+3

2′ 1′

，
∴A⁵β=-2×（-1）⁵

-1′ 1′

+3×2⁵

2′ 1′

=

190′ 98′

．

点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．