Question

（2013•江苏一模）如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A₁C₁的中点，∠ACB=90°，A₁F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：
（1）A₁E∥平面GBC；
（2）BG⊥平面ACH．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥BC，A₁F∥GC．再利用面面平行的判定定理即可证明平面A₁FE∥平面GBC，利用面面平行的性质定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质定理可得GC⊥AC，从而可证AC⊥平面GBC，于是得到AC⊥BG，利用线面垂直的判定定理即可证明．

解答：证明：（1）连接A₁E．
∵E，F分别为棱AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，F，G分别为棱AC，A₁C₁的中点，
∴A1G

∥

.

FC，
∴四边形A₁FCG是平行四边形，
∴A₁F∥GC．好
又∵A₁F∩FE=F，GC∩CB=C，
∴平面A₁FE∥平面GBC，
∴A₁E∥平面GBC；
（2））∵A₁F⊥平面ABC，A₁F∥GC，
∴GC⊥平面ABC，
∴GC⊥AC，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB．
又CG∩BC=C，∴AC⊥平面BCG，
∴AC⊥BG，
又∵CH⊥BG，AC∩CH=C．
∴BG⊥平面ACH．

点评：熟练掌握用三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质定理、面面平行的判定和性质定理、线面垂直的性质和判定定理是解题的关键．