（2006•朝阳区三模）在平面直角坐标系中，已知向量

OF

=（c，0）（c为常数，且c＞0），

OG

=（x，x）（x∈R），
|

FG

|的最小值为  1 ，  

OE

=(

a2

c

，  t)（a为常数，且a＞c，t∈R）．动点P同时满足下列三个条件：（1）|

PF

|=

c

a

|

PE

|；（2）

PE

=λ

OF

（λ∈R，且λ≠0）；（3）动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量为

m

=（1，k）（k≠0）的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

与

BN

的夹角为60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

（2006•朝阳区三模）已知：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D、E分别是侧棱BB₁和AC₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AD与A₁C₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：ED⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求平面ADC₁与平面ABC所成二面角的大小．

（2006•朝阳区三模）在等比数列{a_n}中，若a₉=1，则有等式a₁a₂…a_n=a₁a₂…a_17-n，（n＜17，n∈N^*）成立．类比上述性质，相应的在等差数列{b_n}中，若b₉=0，则有等式成立．

（2006•朝阳区三模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2^x，则f-1(-

1

4

)的值为．

（2006•朝阳区三模）已知二项式(

x

-

2

x

)7展开式的第4项与第5项之和为零，那么x等于．

（2006•朝阳区三模）若复数z满足z（1-2i）=3+4i，则z等于（　　）

（2003•崇文区一模）给定直线l：y=x和点P₁（5，1）．作点P₁关于l的对称点Q₁，过Q₁作平行于x轴的直线交l于点M₁，取一点P₂（x₂，y₂），使M₁为线段Q₁P₂的内分点，且Q₁M₁：M₁P₂=2：1，再作P₂关于l的对称点Q₂，过Q₂作平行于x轴的直线交l于点M₂，取一点P₃（x₃，y₃），使M₂为线段Q₂P₃的内分点，且Q₂M₂：M₂P₃=2：1．如此继续，得到点列P₁、P₂、P₃、…P_n．设P_n（x_n，y_n），a_n=x_n+1-x_n．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）证明：数列{a_n}是等比数列并求其通项；
（Ⅲ）求P_n点的坐标，并求_n→∞^limx_n及_n→∞^limy_n的值．

（2003•崇文区一模）某化肥厂从今年1月起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时还将受到环保部门的处罚，第1个月罚1万元，以后逐月递增2万元．如果从今年1月起投资400万元增加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，免去环保部门的处罚，另一方面也可降低原料成本，据测算，投产后的前5个月中的累计收入y（万元）是生产时间n（以月为单位）的二次函数．生产前1、前2、前3个月的累计收入分别可达101万元、204万元和309万元，以后每个月的收入稳定在第5个月的水平．
（I）求投资改造设备后，累计收入y与生产时间n的函数表达式；
（II）至少经过多少个月，投资改造设备后的纯收入多于不改造设备时的纯收入？