Question

（2003•崇文区一模）给定直线l：y=x和点P₁（5，1）．作点P₁关于l的对称点Q₁，过Q₁作平行于x轴的直线交l于点M₁，取一点P₂（x₂，y₂），使M₁为线段Q₁P₂的内分点，且Q₁M₁：M₁P₂=2：1，再作P₂关于l的对称点Q₂，过Q₂作平行于x轴的直线交l于点M₂，取一点P₃（x₃，y₃），使M₂为线段Q₂P₃的内分点，且Q₂M₂：M₂P₃=2：1．如此继续，得到点列P₁、P₂、P₃、…P_n．设P_n（x_n，y_n），a_n=x_n+1-x_n．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）证明：数列{a_n}是等比数列并求其通项；
（Ⅲ）求P_n点的坐标，并求_n→∞^limx_n及_n→∞^limy_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过点的坐标利用Q₁M₁：M₁P₂=2：1，即可求a₁；
（Ⅱ）利用题设条件，λ=

Qn+1Mn+1

Mn+1Pn+2

=2转化为xn+2-xn+1=

1

2

(xn+1-xn)，即可证明：数列{a_n}是等比数列并求其通项；
（Ⅲ）利用累加法直接求P_n点的坐标，然后利用极限的运算法则直接求

lim

n→∞

x_n及

lim

n→∞

y_n的值．

解答：本小题满分（16分）．
解：（I）由条件知：Q₁（1，5），M₁（5，5），P₂（x₂，5），
∵λ=

Q1M1

M1P2

=2，
∴5=

1+2x2

1+2

，∴x₂=7，又x₁=5，
∴a₁=x₂-x₁=7-5=2．…（2分）
（II）证明：设P_n+1（x_n+1，y_n+1），则Q_n+1（y_n+1，x_n+1），M_n+1（x_n+1，x_n+1）．
∵λ=

Qn+1Mn+1

Mn+1Pn+2

=2，…（4分）
设P_n+2（x_n+2，y_n+2），
∴xn+1=

yn+1+2xn+2

3

(*)…（6分）
∵点P_n+1的纵坐标y_n+1与点Q_n、M_n的纵坐标相同，
故y_n+1=x_n代入（*）化简，得2x_n+2-3x_n+1+x_n=0，
即xn+2-xn+1=

1

2

(xn+1-xn)．
∴数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列．
∴an=2•(

1

2

)n-1(n∈N)．…（9分）
（III）解：∵an=xn+1-xn=2•(

1

2

)n-1(n∈N)，
因此有：x2-x1=2•(

1

2

)0，
x3-x2=2•(

1

2

)1
…
xn-xn-1=2•(

1

2

)n-2
将以上n-1个等式相加，得
xn-x1=2[(

1

2

)0+(

1

2

)1+…+(

1

2

)n-2]=2•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=4-4•(

1

2

)n-1．…（12分）
∴xn=9-(

1

2

)n-3，yn=xn-1=9-(

1

2

)n-4．
∴Pn(9-(

1

2

)n-3，9-(

1

2

)n-4)．…（14分）

lim

n→∞

Xn=

lim

n→∞

[9-(

1

2

)n-3]=9，

lim

n→∞

yn=

lim

n→∞

[9-(

1

2

)n-4]=9…16分．

点评：本题考查数列的综合应用，数列是等比数列的判断，通项公式的求法，数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力．