题目内容

（2006•朝阳区三模）在平面直角坐标系中，已知向量
OF
=（c，0）（c为常数，且c＞0），
OG
=（x，x）（x∈R），
|
FG
|的最小值为  1 ，  
OE
=(
a2
c
，  t)（a为常数，且a＞c，t∈R）．动点P同时满足下列三个条件：（1）|
PF
|=
c
a
|
PE
|；（2）
PE
=λ
OF
（λ∈R，且λ≠0）；（3）动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量为
m
=（1，k）（k≠0）的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使|
BM
|=|
BN
|，且
BM
与
BN
的夹角为60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
分析：（I）利用向量的模的计算公式和二次函数的单调性即可得出c，由
OE
=(
a2
c
， t) (t∈R)，可知点E在直线 x=
a2
c
上．
由（1）、（2）和椭圆的第二定义可知，点P的轨迹C是椭圆．得出即可．
（II）假设存在符合条件的直线l，并设l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1）、N（x2，y2），把直线l的方程与椭圆方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用垂直平分线的性质可得线段MN的垂直平分线的方程，根据△BMN为等边三角形．可得点B到直线MN的距离d=
3
2
|MN|．再利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）∵|
FG
|=
(x-c)2+x2
=
2(x-
c
2
)2+
c2
2
≥
2
2
c，
∴
2
2
c=1 ，  即c=
2
．
由
OE
=(
a2
c
， t) (t∈R)，可知点E在直线 x=
a2
c
上．
由（1）、（2）可知点P到直线x=
a2
c
距离与到点F的距离之比为
a
c
(a＞c＞0)，
再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹C是椭圆．
设椭圆C的方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1，其中b2=a2-c2．
由（3）可知b=1，∴a2=b2+c2=1+2=3．∴椭圆C的方程为：
x2
3
+y2=1．
（Ⅱ）假设存在符合条件的直线l，并设l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1）、N（x2，y2），
y=kx+m
x2+3y2=3
，  消去y，  得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0．
则x1+x2=-
6km
1+3k2
 ，   x1x2=
3m2-3
1+3k2
．
△=36k2m2-12（m2-1）（1+3k2）=12[3k2-m2+1]＞0     ①
设线段MN的中点G（x0，y0），x0=
x1+x2
2
=-
3km
1+3k2
，   y0=kx0+m=-
3k2m
1+3k2
+m=
m
1+3k2
，
线段MN的垂直平分线的方程为：y-
m
1+3k2
=-
1
k
(x+
3km
1+3k2
)．
∵|
BM
|=|
BN
|，∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点．
∴-1-
m
1+3k2
=-
1
k
•
3km
1+3k2
=-
3m
1+3k2
．
∴m=
1+3k2
2
．②
②代入①，得3k2-（
1+3k2
2
)2+1＞0 ，  解得-1＜k＜1 ， 且k≠0．③
∵|
BM
|=|
BN
|，  且
BM
与
BN
的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形．
∴点B到直线MN的距离d=
3
2
|MN|．
∵d=
|1+m|
1+k2
=
|1+
1+3k2
2
|
1+k2
=
3
2
1+k2
，
又∵|MN|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
•
(-
6km
1+3k2
)2-4•
3m2-3
1+3k2
=
1+k2
1+3k2
12(3k2-m2+1)

═
1+k2
1+3k2
12[3k2-(
1+3k2
2
)2+1]
=3
1+k2
1+3k2
1-k2
，
∴
3
2
1+k2
=
3
3
2
1+k2
1+3k2
1-k2
．
解得k2=
1
3
，即k=±
3
3
，满足③式．代入②，得m=
1+3k2
2
=
1+1
2
=1．
直线l的方程为：y=±
3
3
x+1．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆线相交问题转化为把直线的方程与双曲线的方程联立可得根与系数的关系及△＞0、中点坐标公式、分类讨论思想方法等是解题的关键．
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14
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2
2
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