【题目】近年电子商务蓬勃发展， 年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？

（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.

附： （其中为样本容量）

【题目】四棱锥中， ，且平面， ， ， 是棱的中点.

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

【题目】设是公差为的等差数列，是公比为（）的等比数列，记.

（1）令，求证：数列为等比数列；

（2）若，，数列前2项和为14，前8项和为857，求数列通项公式；

（3）在（2）的条件下，问：数列中是否存在四项、、、成等差数列？请证明你的结论.

【题目】甲、乙两城相距100，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10．已知各城供电费用（元）与供电距离（）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是=0．25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，

（1）把月供电总费用（元）表示成（）的函数，并求其定义域；

（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．

【题目】已知直线， (为参数， 为倾斜角).以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.

（Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.

【答案】（I）；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）将由代入，化简即可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）将的参数方程代入，得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.

试题解析：（Ⅰ）由及，得，即

所以曲线的极坐标方程为

（II）将的参数方程代入，得

∴, 所以，又，

所以，且,

所以,

由，得，所以.

故的取值范围是.

【题型】解答题
【结束】
23

【题目】已知、、均为正实数.

（Ⅰ）若，求证：

（Ⅱ）若，求证：

【题目】在数列中，，

（I）求，，的值，由此猜想数列的通项公式：

（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想.

【题目】已知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若数列满足， ，记的前项和为，求证： .

【答案】（I）；（II）；（III）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时， 在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论.

试题解析：（Ⅰ）由，得.所以

令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 .

（Ⅱ）由得，

当时，因为，所以显然不成立，因此.

令，则，令，得.

当时， ， ，∴，所以，即有.

因此时， 在上恒成立.

②当时， ， 在上为减函数，在上为增函数，

∴，不满足题意.

综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.

（III）证明：由知数列是的等差数列，所以

所以

由（Ⅱ）得， 在上恒成立.

所以. 将以上各式左右两边分别相加，得

.因为

所以

所以.

【题型】解答题
【/span>结束】
22

【题目】已知直线， (为参数， 为倾斜角).以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.

（Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.

（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．）

A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天

【题目】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建个桥墩，记余下工程的费用为万元.

（1）试写出关于的函数关系式；（注意：）

（2）需新建多少个桥墩才能使最小？

【题目】已知函数.

（1）判断的单调性并写出证明过程；

（2）当时，关于x的方程在区间上有唯一实数解，求a的取值范围.