[题目]四棱锥中. .且平面. . . 是棱的中点.(1)证明: 平面,(2)求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】四棱锥中，，且平面，，，是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取中点，连接、，四边形是平行四边形，通过证明面ACD,来证明平面。（2）取中点，过N点做BE的平行线为y轴，NB,NA分别为x,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量求二面角的余弦值。

试题解析：（1）取中点，连接、，

∵是中点，∴，且.

又因为，∴.又∵，∴，∴四边形是平行四边形.∴，又，∴是等边三角形，∴，∵平面，，∴平面，∴，∴平面，∴平面.

（2）取中点，则，平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.

各点坐标为，，，，， .

可得，，，；

设平面的法向量，则得，

取，

设平面的法向量，则得，

取，

于是，

注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.

练习册系列答案

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试题解析：（Ⅰ）由，得.所以

令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 .

（Ⅱ）由得，

当时，因为，所以显然不成立，因此.

令，则，令，得.

当时，，，∴，所以，即有.

因此时，在上恒成立.

②当时，，在上为减函数，在上为增函数，

∴，不满足题意.

综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.

（III）证明：由知数列是的等差数列，所以

所以

由（Ⅱ）得，在上恒成立.

所以. 将以上各式左右两边分别相加，得

.因为

所以

所以.

【题型】解答题
【/span>结束】
22

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