20．已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左.右焦点为F1.F2.M为短轴端点.且S△MF1F2=4.离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}——青夏教育精英家教网——

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点为F₁，F₂，M为短轴端点，且S_△MF1F2=4，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点O作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

19．请阅读下列不等式的证法：已知a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，求证：|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，
则f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²=2x²-2（a₁+a₂）x+1．
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂）²-8≤0，从而得|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．
请回答下面的问题：
若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁²+a₂²+…+a_n²=1，请写出上述结论的推广形式，并进行证明．

18．已知y=f（x）是定义在R上的函数，且f（2）=5，对任意的x都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$．则f（x）＜$\frac{1}{2}$x+4的解集是（2，+∞）．

17．若f（x）=sinα-cosx，则f′（x）等于（　　）

16．设向量$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow{b}$=（m-1，2），且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{b}$，若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则实数m=（　　）

15．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（1）求动点G的轨迹方程；
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．

14．若x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\end{array}}\right.$，则$\frac{y}{x}$的最大值为（　　）

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x-1，2），$\overrightarrow{b}$=（4，y），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则点P（x，y）到原点的距离的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

12．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（　　）

5+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$

11．定义在R上的函数f（x）满足$f（{x+2}）=\frac{1}{2}f（x）$，当x∈[0，2）时，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2{x^2}，0≤x＜1}\\{-{2^{1-|{\frac{3}{2}-x}|}}，1≤x＜2}\end{array}}\right.$．函数g（x）=lnx-m．若任意的x₁∈[-4，-2），均存在${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

0 231865 231873 231879 231883 231889 231891 231895 231901 231903 231909 231915 231919 231921 231925 231931 231933 231939 231943 231945 231949 231951 231955 231957 231959 231960 231961 231963 231964 231965 231967 231969 231973 231975 231979 231981 231985 231991 231993 231999 232003 232005 232009 232015 232021 232023 232029 232033 232035 232041 232045 232051 232059 266669