如图，设E：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F₁与F₂，且P∈E，∠F₁PF₂＝2θ.求证：△PF₁F₂的面积S＝b²tanθ.

若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为________．

如图，已知椭圆C的方程为＋y²＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的矩形的两个顶点．

(1) 设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；

(2) 若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.

(1) 求椭圆C和其“准圆”的方程；

(2) 若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；

(3) 在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋1)²＋y²＝16，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.

(1) 求点B的轨迹方程；

(2) 当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；

(3) 若G是圆C上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

如图，过抛物线C：y²＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x_，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1) 求y₁＋y₂的值；

(2) 若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．

 设抛物线y²＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F₂的直线l交双曲线于A、B两点，F₁为左焦点．

(1) 求双曲线的方程；

(2) 若△F₁AB的面积等于6，求直线l的方程．

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 当△AMN的面积为时，求k的值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1) 设动点P满足PF²－PB²＝4，求点P的轨迹；

(2) 设x₁＝2，x₂＝，求点T的坐标；

(3) 设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．