题目内容
如图，已知椭圆C的方程为
＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的矩形的两个顶点．
(1) 设P是椭圆C上任意一点，若
，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2) 若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
(1) 证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x0，y0)，则
＋y
＝1.由，得
＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝
，故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．
(2) 解：(解法1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
＝－
，平方得x
x
＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.因为直线MN的方程为(y1－y2)x－(x1－x2)y＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝
，
所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|
故△OMN的面积为定值1.
(解法2)设OM的方程为y＝kx(k>0)，则ON的方程为y＝－
x(k>0)．联立方程组
解得
因为点N到直线OM的距离为d＝
，OM＝
＝2
，所以△OMN的面积S＝d·OM＝·
＝1，故△OMN的面积为定值．
练习册系列答案
相关题目
的值域是________．
，y)，且sinα＝
y，求cosα和tanα的值．
－
＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于
，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
，求直线l的方程．
－
＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________．
＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t
，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C、D四点．
与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OP∥AB，PF1⊥x轴，F1A＝
＋
，则此椭圆的方程是________________．