已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=

2

2

，A，B是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）若直线OA与OB的斜率乘积k_OA•k_OB=-

1

2

，动点P满足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中实数λ为常数）．问是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点A在第一象限，且点A，B关于原点对称，点A在x轴上的射影为C，连接BC并延长交椭圆于点D．证明：AB⊥AD．

已知曲线C的方程为：ax²+ay²-2a²x-4y=0（a≠0，a为常数）．
（1）判断曲线C的形状；
（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；
（3）设直线l：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．

已知P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂是椭圆的焦点．若△PF₁F₂的周长为6，椭圆的离心率为

1

2

，求椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离．

如图：已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．
（1）求p的值；
（2）求△AOB的面积．

如图，F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左，右焦点，过点F₂作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F₁作直线PF₁的垂线交直线l：x=-

a2

c

于点Q．
（1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；
（2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；
（3）若过l：x=-

a2

c

上任一点M作双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别为T₁，T₂，问：直线T₁T₂是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

已知点M（1，-1）与点N（-1，1），动点P满足：直线MP与NP的斜率之积等于-

1

3

．设直线MP与NP分别与直线x=3相交于A，B两点，若点P使得△PMN与△PAB的面积相等，则点P的横坐标是多少？

已知椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上动点．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）∠F₁PF₂=60°时，求△F₁PF₂的面积S；
（3）已知点A（2，2），求|PA|+|PF₂|的最小值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（1，

3

2

），离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．
（1）试求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），试求直线l的方程．

已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3-

4

x+1

；
（2）若对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=

1

2

时，证明：

n+1

i=2

f（i）＞2（n+1-

n+1

）．