等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=10，a₂为整数，且S_n≤S₄．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

已知{a_n}是等差数列，满足a₁=3，a₄=12，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和．

底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P₁P₂P₃，如图，求△P₁P₂P₃的各边长及此三棱锥的体积V．

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=2，cosB=

1

3

，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B-C）的值．

某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

	喜欢甜品	不喜欢甜品	合计
南方学生	60	20	80
北方学生	10	10	20
合计	70	30	100

（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：X²=

n(n11n22-n12n21)2

n1+n2+n+1n+2

   

P（x2＞k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，A₁B⊥BB₁，
（1）求证：A₁C⊥CC₁；
（2）若AB=2，AC=

3

，BC=

7

，问AA₁为何值时，三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积最大，并求此最大值．

已知函数f（x）=x³-3x²+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．

某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为

2

3

和

3

5

．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l₁：y=2x，l₂：y=-2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l₁，l₂于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．