如图，四边形ABCD、BCFE、CDGF都是边长为1的正方形，M为棱AE上任意一点．
（Ⅰ）若M为AE的中点，求证：AE⊥面MBC；
（Ⅱ）若M不为AE的中点，设二面角B-MC-A的大小为α，直线BE与平面BMC所成的角为β，求|

sin(β- π 4 )

cosα

|的值．

求函数f（x）=

2x-x2

的单调区间．

椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为

3

2

，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两个公共点是B，D．
（1）若△FBD是边长为2的等边三角形，求圆的方程；
（2）若A，F，B三点在同一条直线m上，且原点到直线m的距离为2，求椭圆方程．

在平面直角坐标系中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A、B，直线l₁、l₂分别过点A、B且与x轴垂直，点（1，e）和（2，0）均在椭圆上，其中e为椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P是椭圆C上不同于点A、B的任意一点，直线AP与l₂交于点D，直线BP与l₁于点E，线段OD和OE分别与椭圆交于点R，G．
（ⅰ）是否存在定圆与直线DE相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）求证：

1

OG2

+

1

OR2

为定值．

已知抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的通径长为4，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过抛物线C₂的焦点．
（1）求抛物线C₂和椭圆C₁的方程；
（2）过定点M（-1，

3

2

）引直线l交抛物线C₂于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C₂的切线l₁，l₂，且l₁与椭圆C₁相交于P，Q两点．记此时两切线l₁，l₂的交点为点C．
①求点C的轨迹方程；
②设点D（0，

1

4

），求△DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标．

在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），动点P满足

PA

•

PB

=2|

OP

|²-2，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）由点C（-2，0）向（1）中的动点P所形成的曲线引割线l，交曲线于E、F，求

BE

•

BF

范围．

设函数f（x）=ax²-2lnx
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=x²-2bx+4，当a=1时，若对任意x₁∈（

1

2

，

3

2

），当任意x₂∈[2，4]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且10sin²

B+C

2

-5sin（2014π-A）=12，

π

4

＜A＜

π

2

．
（1）求cosA的值；
（2）若a=8，b=5，求向量

BA

在

BC

方向上的射影．

已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．

设集合A={x|x²＜4}，B={x|lg

3+x

1-x

＞0}．
（1）求A∩∁_RB；
（2）若不等式2x²+ax+b＜0的解集为B，求a，b的值．