在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为

3

2

．
（1）求a，b的值．
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；
（ⅱ）若PA²+PB²的值与点P的位置无关，求k的值．

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：a_n+2S_n-1=0，a₁=1，求数列{a_n}的前n项和S_n．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，又PA⊥底面ABCD，E为BC的中点．
（1）求证：AD⊥PE；
（2）设F是PD的中点，求证：CF∥平面PAE．

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于点D），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A₁-BCD，如图2所示．

（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A₁EF；
（Ⅱ）求证：BD⊥A₁F；
（Ⅲ）若平面A₁BD⊥平面BCD，试判断直线A₁B与直线CD能否垂直？并说明理由．

求证：存在无穷多对正整数（a，b）满足ab|a⁸+b⁴+1．

设数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=8，a_n+1=（1+sin

4nπ+π

2

）a_n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=na_2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

如图：已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的正方形，高AA₁=2

2

，P为CC₁的中点，AC与BD交于O点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面PBD；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-BOP的体积．

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：
（1）EF∥平面PBC；
（2）平面DEF⊥平面PAC．

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．

曲线E：

x2

m

+

y2

n

=1(m＞0，n＞0)与正方形M：|x|+|y|=4的边界相切．
（1）求m+n的值；
（2）设直线l：y=x+b交曲线E于A，B，交M于C，D，且|CD|=4

2

．是否存在这样的曲线E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．