Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：a_n+2S_n-1=0，a₁=1，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意，可求得a_n+1+a_n=0（n≥2），由a₁=1，a_n+2S_n-1=0⇒a₂=-2a₁=-2，于是知数列{a_n}从第二项起以-2为首项，-1为公比的等比数列，从而可求其和．

解答： 解：∵a_n+2S_n-1=0，
∴a_n+1+2S_n=0，
两式相减得：a_n-a_n+1=2S_n-2S_n-1=2a_n（n≥2），
整理得：a_n+1+a_n=0（n≥2），即

an+1

an

=-1（n≥2），又a₁=1，
∴a₂=-2a₁=-2，
∴数列{a_n}从第二项起以-2为首项，-1为公比的等比数列，
∴a_n=

1，n=1 (-2)•(-1)n-2，n≥2

；
∴S_n=1+

-2[1-(-1)n-1]

1-(-1)

=1-[1-（-1）^n-1]．

点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，得到数列{a_n}从第二项起以-2为首项，-1为公比的等比数列是关键，也是难点、易错点，属于难题．