已知函数f（x）=

lnx+1

sinθ

（0＜θ＜π），且f（x）≤x对?x＞0恒成立．数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=

1

2

a_n+

n2-2n-1

4n2(n+1)2

（n∈N^*）．
（1）求θ的取值集合；
（2）设b_n=a_n-

1

2n2

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）数列{c_n}中，c₁=1，c_n+1=（1+a_n）c_n，求证：c_n＜e²．（e为自然对数的底数）

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值．

已知函数f（x）=

6x+b

x2+4

的最大值为

9

4

，求b的值．

如果函数f（x）=mx²+（2m-1）x+（m-3）
（1）函数在R上有两个不同的零点，求m的取值范围；
（2）若m=2，求函数在区间[-2，3]内的最大和最小值；
（3）若m＞0，且函数在（0，+∞）内单调递增，求m的取值范围．

已知

1

a

+

3

b

=1，且a，b∈N⁺，求a，b．

在等比数列{a_n}中，a₂-a₁=2，且3a₂为9a₁和a₃的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的首项和公比；
（Ⅱ）设b_n=a_n+log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和．

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，都有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数，并求出最小正周期；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2012）值．

已知函数f（x）对任意x，y∈R都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（

1

2

）=0，数列{a_n}满足：a_n=f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求f（0）及f（1）的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=（

1

4

） an-（

1

2

） 3+an，试问数列{b_n}是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=e^x+1-x-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥-1时，不等式f（x）≥

a

2

（x+1）²恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ax-（2a-1）lnx+b
（1）若f（x）在x=1处的切线方程为y=x，求实数a，b的值；
（2）当a＞

1

2

时，研究f（x）的单调性；
（3）当a=1时，f（x）在区间（

1

e

，e）上恰有一个零点，求实数b的取值范围．