如图所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，
使得CN=BM，连AN，CM交于P点．求∠APM的度数．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AB=BC=3，AA₁=4，求A₁B和B₁C所成角的余弦值．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=

4

3

，（4ⁿ-1）a_n=3•4^n-1S_n．
（Ⅰ）求数列{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n

3an

，若T_n为数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

T_n的值．

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A₁O⊥平面ABCD，A₁A=BD=2，AC=2

2

．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面BC₁D₁与平面BB₁D₁D夹角的余弦值．

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n，且满足前三项的和为9，前三项的积为15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=

1

Sn+n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

设实系数三次多项式P（x）=x³+ax²+bx+c有三个非零实数根．求证：6a³+10（a²-2b） 

3

2

-12ab≥27c．

设函数f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a≠0）
（1）若b=0，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若a=b=1，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m恒成立？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由；
（3）若已知a＞0，设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x₁，x₂且x₁，x₀，x₂成等差数列，试探究G′（x₀）的符号．

如图所示，设F是抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k₁、k₂的两条直线l₁、l₂，且k₁•k₂=-1，l₁与E相交于点A、B，l₂与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若

AF

•

FB

+

DF

•

FC

=64，求直线l₁、l₂的方程．

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图及直观图如图所示，根据图中所给数据，解答下列问题：

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

已知函数f（x）=x²+2ax+3，x∈（-4，4）．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围．使得y=f（x）在区间（-4，4）上是单调函数；
（3）若函数y=f（x）在（-4，4）上有两个零点，求实数a的范围．