Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图及直观图如图所示，根据图中所给数据，解答下列问题：

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质，结合直角三角形的边长关系即可确定E的位置；
（Ⅲ）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积公式即可得到结论．．

解答： 解：（Ⅰ）由三视图可知AB⊥侧面BB₁C₁C，
则AB⊥BC₁，
∵BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
在△BC₁C中，由余弦定理得BC₁=

3

，故有BC²+BC₁²=CC₁²，
∴C₁B⊥BC，
∵BC∩AB=B，且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，
AE，AB?平面ABE，从而B₁E⊥平面ABE；且BE?平面ABE，
故B₁E⊥BE，设CE=x，则C₁E=2-x，
则BE²=1+x²-x，
∵∠B₁C₁C=

2π

3

，∴B₁E²=x²-5x+7，
Rt△BEB₁中，x²-5x+7+1+x²-x=4，解得x=1或x=2．
故E是CC₁的中点时，有EA⊥EB₁；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知S△ABC=

1

2

BC•AB=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
由（Ⅰ）知C₁B⊥平面ABC，BC₁=

3

，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=3VA-CBC1=3×

1

3

S△CBC1•AB=

1

2

×2×1×sin

π

3

×

2

=

6

2

．

点评：本题主要考查线面垂直的判断以及三棱柱的体积的计算，要求熟练掌握空间线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式．