已知函数f（x）=sinx-

3

cosx+2，向量

a

=（2，-cosα），

b

=（1，cot（α+

π

2

））（0＜α＜

π

4

）且

a

•

b

=

7

3

（Ⅰ）求f（x）在区间[

2π

3

，

4π

3

]上的最值；
（Ⅱ）求

2cos2α-sin2(α+π)

cosα-sinα

的值．

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-2013对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+

1

2t

），（x∈R，t＞0）．

如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=

4

5

|PD|，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．

已知函数f（x）=

1

1+x2

，
（1）求证：函数f（x）是偶函数；  
（2）求证：函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+

1

2

）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥

t

x+1

恒成立，求实数t的取值范围．

如图，AC为圆O的直径，PC为圆O所在平面的垂线（C为垂足），B为半圆周上一点，M为AP的中点，且PC=4，AB=BC=2．
（1）求证：平面ABP⊥平面BPC；
（2）求三棱锥A-MBC的体积．

已知函数f（x）=|x-2|+|2x-1|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若?x∈R，不等式f（x）＜

1

2

m²+m成立，求m的取值范围．

已知：f（x）=

1

2

x²-（a²+2）x+（a²+1）lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值-

2

3

．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．