Question

已知函数f（x）=

1

1+x2

，
（1）求证：函数f（x）是偶函数；  
（2）求证：函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）f（x）的定义域为x∈R，只要证明f（-x）=f（x）即可；
（2）只要证明f′（x）≥0在（-∞，0]上成立即可．

解答： 证明：（1）f（x）的定义域为x∈R，
∵f（-x）=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f(x)，
∴f（x）为偶函数．
（2）∵x∈（-∞，0]，
∴f′（x）=-

2x

(1+x2)2

≥0，
∴函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．