已知函数F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数
（1）若f（x）=lnx+ax²，求a的取值范围
（2）设x₀是f（x）的零点，m，n∈（0，x₀），求证，

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

已知二次函数f（x）满足：f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在(-

1

2

，2)的值域．

已知凼数F（x）为二次凼数，且F（x）的导凼数为f（x），若存在实数a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）＞0，则不等式F（2x-1）＞F（x）的解集为（　　）

函数f（x）=e^x+x²+x+1与g（x）的图象关于直线2x-y-3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

已知函数f（x）=

-x3+ax2+bx，(x＜1) - 3 2 clnx，(x≥1) ，

的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为5x+y+3=0．
（I）求实数a，b的值及函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅱ）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围．

若曲线C₁：y=ax³-6x²+12x与曲线C₂：y=e^x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为．

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=-5n²+20n，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

已知函数f（x）=

lnx+k

ex

（其中k∈R，e=2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈（0，1]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围；
（3）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立．

已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n≥2，n∈N^•），设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n
（Ⅰ）判断数量{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）设C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，证明

n

k=1

Ck＜1；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列{a_n}，若数列{l_n}满足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^•），在每两个l_k与l_k+1之间都插入2^k-1（k=1，2，3，…，k∈N^•）个2，使得数列{l_n}变成了一个新的数列{t_p}，（p∈N^•）试问：是否存在正整数m，使得数列{t_p}的前m项的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

已知{a_n}中，a₁=1，

an+1

an

=

1

2

，则数列{a_n}的通项公式是（　　）