Question

若曲线C₁：y=ax³-6x²+12x与曲线C₂：y=e^x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,直线与圆

分析：分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a的值．

解答： 解：由y=ax³-6x²+12x，得y′=3ax²-12x+12，
∴y′|_x=1=3a，
由y=e^x，得y′=e^x，
∴y′|_x=1=e．
∵曲线C₁：y=ax³-6x²+12x与曲线C₂：y=e^x在x=1处的切线互相垂直，
∴3a•e=-1，解得：a=-

1

3e

．
故答案为：-

1

3e

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．