Question

1．已知f（α）=$\frac{sin（π-α）•cos（2π-α）•sin（-α+\frac{3π}{2}）}{cos（-π-α）•cos（-α+\frac{3π}{2}）}$
（1）求f（-$\frac{31π}{3}$）的值；
（2）若f（α）=$\frac{3}{5}$，求sinα，tanα的值．
（3）若2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简极限是的解析式，代入求值即可．
（2）利用函数的解析式化简，求出余弦函数，然后求解即可．
（3）求出正切函数值，然后化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{sin（π-α）•cos（2π-α）•sin（-α+\frac{3π}{2}）}{cos（-π-α）•cos（-α+\frac{3π}{2}）}$
=$\frac{-sinα•cosα•cosα}{cosα•sinα}$=-cosα．
f（-$\frac{31π}{3}$）=-cos（$-\frac{31π}{3}$）=-cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）f（α）=$\frac{3}{5}$，可得cosα=-$\frac{3}{5}$，∴sinα=±$\frac{4}{5}$，tanα=±$\frac{4}{3}$．
（3）2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），
可得-2cos（π+α）=-cos（$\frac{π}{2}$+α）=sinα，可得tanα=2．
$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$+$\frac{1}{{tan}^{2}α+1}$=3+$\frac{1}{5}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．