Question

12．如图，准备在扇形空地AOB上修建一个山水景观OPQ，己知∠AOB=$\frac{2}{3}$π，OA=lkm，点P在扇形弧上，PQ∥OA交OB于点Q，记∠POA=x．
（Ⅰ）当Q是OB中点时，求PQ的长；
（Ⅱ）求使山水景观OPQ的面积S最大时x的值； 
（Ⅲ）为了方便路人休闲行走，要在扇形空地上铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧$\widehat{AP}$，线段PQ以及线段QB组成，怎样设计才能使得观光道路最长？

Answer 1

分析 （Ⅰ）当Q是OB中点时，在△OPQ中，由余弦定理得OP²=QO²+PQ-2QO²•PQcos$\frac{π}{3}$，求PQ的长；
（Ⅱ）S=$\frac{1}{2}PQ•POsinx$，利用三角函数知识求使山水景观OPQ的面积S最大时x的值； 
（Ⅲ）首先将道路长度f（x）表达成x的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得观光道路最长．

解答 解：（Ⅰ）当Q是OB中点时，OQ=$\frac{1}{2}$，∠PQO=$\frac{π}{3}$，OP=1，
在△OPQ中，由余弦定理得OP²=QO²+PQ-2QO²•PQcos$\frac{π}{3}$，
∴PQ=$\frac{1+\sqrt{13}}{4}$；
（Ⅱ）在△OPQ中，由正弦定理得PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2}{3}$π-x），x∈（0，$\frac{2}{3}$π），
∴S=$\frac{1}{2}PQ•POsinx$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2}{3}$π-x）sinx=$\frac{\sqrt{3}}{6}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，x=$\frac{π}{3}$时，山水景观OPQ的面积S最大值问为$\frac{\sqrt{3}}{4}$； 
（Ⅲ）设道路长度为f（x），
△OPQ中，由正弦定理得OQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinx，x∈（0，$\frac{1}{3}$π），
则f（x）=x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2}{3}$π-x）+（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinx）=x+cosx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由f′（x）=1-sinx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosx=0得sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵x∈（0，$\frac{1}{3}$π），∴x=$\frac{π}{6}$
易得x∈（0，$\frac{π}{6}$），f′（x）＞0，θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），f′（x）＜0，
∴x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取到最大值$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1．

点评 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．