Question

16．已知实数x，y满足x²+y²=1，则$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围是[$\frac{3}{4}$，+∞）．．

Answer 1

分析 由题意，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在单位圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解．

解答 解：由题意作出如下图形：
令k=$\frac{y-（-2）}{x-（-1）}$，则k可看作圆x²+y²=1上的动点P到定点A（-1，-2）的连线的斜率而相切时的斜率，
由于此时直线与圆相切，设直线方程为：y+2=k（x+1），
化为直线一般式为：kx-y+k-2=0，
利用直线与圆相切建立关于k的方程为：$\frac{|k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴k=$\frac{3}{4}$
而由题意及点P所在的位置图可以知道斜率k临界下时斜率为$\frac{3}{4}$，而由于点A的横坐标与单位圆在x轴的交点横坐标一样，此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90°，所以斜率无最大值．
综合可得，$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围是[$\frac{3}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．