Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA₁⊥平面ABCD．
（1）求证：B₁C∥平面A₁DE；
（2）求证：平面A₁AE⊥平面A₁DE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结B₁C，由已知得B₁C∥A₁D，由此能证明B₁C∥平面A₁DE．
（2）由题意得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，∠CED=∠CDE=

1

2

(180°-∠ECD)=30°，从而DE⊥AE，进而DE⊥平面A₁AE，由此能证明平面A₁AE⊥平面A₁DE．

解答： 证明：（1）连结B₁C，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，
∴B₁C∥A₁D，
又B₁C?平面A₁DE，A₁D?平面A₁DE，
∴B₁C∥平面A₁DE．
（2）由题意得BE=EC=

1

2

BC=AB=CD，
∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，
又△CDE中，∠CED=∠CDE=

1

2

(180°-∠ECD)=30°，
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°，即DE⊥AE，
∵AA₁∩AE=A，∴DE⊥平面A₁AE，
∵DE?平面A₁DE，∴平面A₁AE⊥平面A₁DE．

点评：本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．