Question

11．求满足下列条件的椭圆的标准方程
（1）焦点分别为（0，-2），（0，2），经过点（4，$3\sqrt{2}$） 
（2）经过两点（2，$-\sqrt{2}$），（$-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}$）

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，结合c=2，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程．

解答 解：（1）依题意，设所求椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
因为点（4，3$\sqrt{2}$），在椭圆上，又c=2，得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{18}{{a}^{2}}+\frac{16}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得a=6，b=4$\sqrt{2}$…（10分）
故所求的椭圆方程是$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{32}$=1；
（2）设椭圆方程为mx²+ny²=1，则
∵经过两点（2，$-\sqrt{2}$），（$-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+2n=1}\\{m+\frac{7}{2}n=1}\end{array}\right.$，∴$m=\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．