Question

12．若不等式[2tx²-（t²-1）x+2]•lnx≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数t的值是-1．

Answer 1

分析 由题意可得当lnx≥0，即x≥1时，2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立．讨论t的符号，可得t＜0，由2t-（t²-1）+2≤0，解得t≤-1，检验x≥1时，不等式恒成立；讨论0＜x＜1时，2tx²-（t²-1）x+2≥0恒成立．考虑t的范围和对称轴与区间（0，1）的关系，可得2t-（t²-1）+2≥0，解不等式即可得到所求t的值．

解答 解：不等式[2tx²-（t²-1）x+2]•lnx≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
当lnx≥0，即x≥1时，2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立．
当t≥0时，2tx²-（t²-1）x+2≤0不恒成立，
则t＜0，且2t-（t²-1）+2≤0，解得t≤-1或t≥3（舍去），
当t≤-1时，对称轴x=$\frac{{t}^{2}-1}{4t}$＜0＜1，y=2tx²-（t²-1）x+2在x≥1递减，
2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立；
当lnx＜0，即0＜x＜1时，2tx²-（t²-1）x+2≥0恒成立．
由题意可得t≤-1，
且对称轴x=$\frac{{t}^{2}-1}{4t}$＜0，y=2tx²-（t²-1）x+2在0＜x＜1递减，
则2t•0-（t²-1）•0+2≥0，且2t-（t²-1）+2≥0，解得-1≤t≤3，
综上可得-1≤t≤-1，即为t=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和二次函数的图象和性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．