Question

20．若关于x的方程xlnx-kx+1=0在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不等实根，则实数k的取值范围是（1，1+$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 分类参数可得k=lnx+$\frac{1}{x}$，判断f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上的单调性和极值，根据解得个数得出k的范围．

解答 解：由xlnx-kx+1=0得k=lnx+$\frac{1}{x}$，
令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，则f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$．
∴当$\frac{1}{e}＜x＜1$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，
又f（$\frac{1}{e}$）=-1+e，f（e）=1+$\frac{1}{e}$．
∴f（e）＜f（$\frac{1}{e}$）．
∵关于x的方程xlnx-kx+1=0在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不等实根，
∴f（x）=k有两解，
∴1＜k≤1+$\frac{1}{e}$．
故答案为：（1，1+$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查了方程根与函数单调性，极值的关系，属于中档题．