Question

12．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{acosB+bcosA}{c}$=2cosC．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，a+b=6，求边c的长．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得：$\frac{acosB+bcosA}{c}$=1，可求cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π）可求C的值．
（2）利用三角形面积公式可得ab=8，又a+b=6，利用余弦定理即可求值得解．

解答 解：（1）由余弦定理可得：acosB+bcosA=a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{c}^{2}}{2c}$=c，…3分
∴$\frac{acosB+bcosA}{c}$=1，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0，π），C=$\frac{π}{3}$…7分
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$，∴ab=8，…10分
又∵a+b=6，
∴c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12，…13分
∴c=2$\sqrt{3}$…14分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．