Question

3．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x-c）²+y²=a²+c²（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B．
（1）求椭圆方程和直线方程；
（2）试在圆N上求一点P，使$\frac{PB}{PA}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）先根据题意通过离心率和焦点到准线的距离联立方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．利用直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，可得直线方程；
（2）由（1），可得A（-1，1.5），B（0，2），利用$\frac{PB}{PA}$=2$\sqrt{2}$，求出P的轨迹方程，与圆N联立，可得P的坐标．

解答 解：（1）由题意有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，
从而b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
圆N的方程为（x-1）²+y²=5，圆心到直线的距离d=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$①
直线l：y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=0，可得m²=3+4k²，②
由①②，k＞0，可得m=2，k=$\frac{1}{2}$，
∴直线方程为y=$\frac{1}{2}x+2$；
（2）由（1），可得A（-1，1.5），B（0，2），
设P（x，y），则x²+（y-2）²=8（x+1）²+8（y-1.5）²，∴7x²+7y²+16x-20y+22=0
与（x-1）²+y²=5联立，可得x=-1，y=1或x=-$\frac{9}{13}$，y=$\frac{19}{13}$，
∴P（-1，1）或（-$\frac{9}{13}$，y=$\frac{19}{13}$）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆方程．考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．