Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则正实数a的取值范围为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，求出f（x）的单调增区间，即得正实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx（a＞0），
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（x＞0），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上f′（x）≤0，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上是减函数，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上是增函数；
∵函数f（x）在区间[1，+∞）内是增函数，
∴$\frac{1}{a}$≤1，又a＞0，∴a≥1，
∴实数a的取值范围是[1，+∞）；
故选：B．

点评 本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．