Question

11．已知函数f（x）=|x+2|-2|x-1|．
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）对任意x∈R，都有f（x）≤x-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值符号得出f（x）的分段解析式，再各段上解不等式即可；
（2）对x的范围进行讨论，分离参数得出a在各段上的最小值，即可得出a的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+4，x≥1}\\{3x，-2＜x＜1}\\{x-4，x≤-2}\end{array}\right.$．
∵f（x）≥-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+4≥-2}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3x≥-2}\\{-2＜x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-4≥-2}\\{x≤-2}\end{array}\right.$，
解得1≤x≤6或-$\frac{2}{3}$≤x＜1．
∴不等式f（x）≥-2的解为集为{x|-$\frac{2}{3}$≤x≤6}．
（2）当x≥1时，-x+4≤x-a，即a≤2x-4恒成立，∴a≤-2；
当-2＜x＜1时，3x≤x-a，即a≤-2x恒成立，∴a≤-2；
当x≤-2时，x-4≤x-a，即a≤4恒成立．
∵任意x∈R，都有f（x）≤x-a成立，
∴a≤-2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，分类讨论思想，属于中档题．