Question

1．设正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=1，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的半径为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 根据EF与DE的垂直关系，结合正棱锥的性质，判断三条侧棱互相垂直，再求得侧棱长，根据体积公式计算即可．

解答 解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，
又∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
取BD的中点O，连接AO、CO，∵三棱锥A-BCD为正三棱锥，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，
又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；
∴AC⊥AB，
设AC=AB=AD=x，则x²+x²=1⇒x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
所以三棱锥对应的长方体的对角线为$\sqrt{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以它的外接球半径为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查了正三棱锥的外接球半径求法，关键是求出三棱锥的三条侧棱长度，得到对应的长方体对角线，即外接球的直径．