Question

3．已知坐标平面上两个定点A（0，3），O（0，0），动点M（x，y）满足：|MA|=2|OM|．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点N（-1，3）的直线l被C所截得的线段的长为$2\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用|MA|=2|OM|，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．

解答 解：（1）由|MA|=2|OM|得：$\sqrt{{{（x-0）}^2}+{{（y-3）}^2}}=2\sqrt{{{（x-0）}^2}+{{（y-0）}^2}}$；…1分
化简得：x²+y²+2y-3=0，即：x²+（y+1）²=4； …3分
∴点M的轨迹方程是：x²+（y+1）²=4，轨迹是以（0，-1）为圆心，以2为半径的圆． …4分
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1，
此时直线l被C所截得的线段的长为：$2\sqrt{{2^2}-{1^2}}=2\sqrt{3}$，
∴直线l：x=-1符合题意； …6分
当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y-3=k（x+1），即kx-y+（k+3）=0，
∴圆心到l的距离$d=\frac{|k+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
由题意得：${（{\frac{|k+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}={2^2}$，解得：$k=-\frac{15}{8}$； …8分
此时直线l的方程为：$-\frac{15}{8}x-y+\frac{9}{8}=0$，即：15x+8y-9=0；
∴直线l的方程为：l：x=-1或15x+8y-9=0． …10分．

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．